高通滤波

低通滤波中我们说明了通过衰减图像傅里叶变换的高频信号可以平滑图像. 因为边缘和其他灰度急剧变化的区域与高频分量有关, 所以图像的锐化可以通过在频率域的高通滤波实现.

一个高通滤波器是从给定的低通滤波器用下式得到:

HHP(u,v)=1-HLP(u,v)

其中 HLP(u,v) 是低通滤波器的传递函数. 同样的, 高通滤波器也有理想(IHPF), 巴特沃斯(BHPF)和高斯高通滤波器(GHPF). 三种高通滤波器传递函数如下表所示:

\ 理想 巴特沃斯 高斯
H H(u,v)={0D(u,v)D01D(u,v)>D0 H(u,v)=11+[D0/D(u,v)]2n H(u,v)=1-e-D2(u,v)/2D02

实验结果

使用 n=2 阶, 截止频率为 20 的巴特沃斯高通滤波器处理后的结果如下:

img

# 实验代码
import numpy as np
import PIL.Image
import scipy.misc


def convert_2d(r):
    r_ext = np.zeros((r.shape[0] * 2, r.shape[1] * 2))
    for i in range(r.shape[0]):
        for j in range(r.shape[1]):
            r_ext[i][j] = r[i][j]

    r_ext_fu = np.fft.fft2(r_ext)
    r_ext_fu = np.fft.fftshift(r_ext_fu)

    # 截止频率为 20
    d0 = 20
    # 2 阶巴特沃斯
    n = 2
    # 频率域中心坐标
    center = (r_ext_fu.shape[0] // 2, r_ext_fu.shape[1] // 2)
    h = np.empty(r_ext_fu.shape)
    # 绘制滤波器 H(u, v)
    for u in range(h.shape[0]):
        for v in range(h.shape[1]):
            duv = ((u - center[0]) ** 2 + (v - center[1]) ** 2) ** 0.5
            if duv == 0:
                h[u][v] = 0
            else:
                h[u][v] = 1 / ((1 + (d0 / duv)) ** (2*n))

    s_ext_fu = r_ext_fu * h
    s_ext = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(s_ext_fu))
    s_ext = np.abs(s_ext)
    s = s_ext[0:r.shape[0], 0:r.shape[1]]

    for i in range(s.shape[0]):
        for j in range(s.shape[1]):
            s[i][j] = min(max(s[i][j], 0), 255)

    return s.astype(np.uint8)


def convert_3d(r):
    s_dsplit = []
    for d in range(r.shape[2]):
        rr = r[:, :, d]
        ss = convert_2d(rr)
        s_dsplit.append(ss)
    s = np.dstack(s_dsplit)
    return s


im = PIL.Image.open('/img/jp.jpg')
im_mat = scipy.misc.fromimage(im)
im_converted_mat = convert_3d(im_mat)
im_converted = PIL.Image.fromarray(im_converted_mat)
im_converted.show()